Productos notables (binomio al cubo)

Elevemos  el binomio (a+b) al cubo, sabemos que esto significa multiplicar tres veces el mismo binomio esto es (a+b)(a+b)(a+b) pero podemos agruparlo como sigue (a+b)2(a+b) ahora aplicando la regla del binomio al cuadrado al primer término nos quedaría:

(a2+2ab+b2)(a+b)
ahora para conocer el resultado multipliquemos el primer factor por a luego por b  y al final sumamos los resultados dados:

(a2+2ab+b2)(a)=a3+2a2b+ab2

(a2+2ab+b2)(b)=a2b+2ab2+b3

sumamos:

a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3=a3+3a2b+3ab2+b3

por lo tanto:


(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3


Hemos hallado la siguiente regla:


"El cubo de la suma de dos cantidades es igual a el cubo de la primera cantidad más tres veces el cuadrado de la primera por la segunda, más tres veces la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda cantidad"


Veamos algunos ejemplos aplicando la regla, desarrollar (2z+3)3

Primero separemos las cantidades, nuestro primer término es 2z y el segundo 3, según la regla debemos obtener "el cubo de la primera cantidad":

(2z)3=8z3


después tenemos "tres veces el cuadrado de la primera por la segunda":



9(4z2)=36z2


seguimos con "tres veces la primera por el cuadrado de la segunda":



27(2z)=54z

y por último "el cubo de la segunda cantidad":

(3)3=27

Sumamos todo:

(2z+3)3=8z3+36z2+54z+27

Términos semejantes

 

Los términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal, o dicho de otra forma aquellos que tengan las mismas letras y con igual exponente. Ejemplo:
a2 y 5a2 son términos semejantes, además −4a2 y 35a2 también son términos semejantes, pues su parte literal es decir a2 es la misma.
     Algunos ejemplos más:
3ab2 y −83ab2, a3bm+1 y −8a3bm+1, etc. En estos casos las  parejas de términos tienen términos semejantes, la primer pareja tiene a ab2 como término semejante y en la segunda pareja lo es a3bm+1. El hecho de que tengamos términos semejantes en una expresión algebraica nos permite reducir dichos términos haciendo las operaciones que sean posibles entre ellos.

    Imaginemos que tenemos la siguiente expresión algebraica:

−8a3b5+3a3b5+a3b5
   
    Si queremos reducirla tendremos que realizar las operaciones que se nos piden. Es decir sumas y restas. Es mas fácil si la reacomodamos de la siguiente forma:

3a3b5+a3b5−8a3b5


     Ahora para reducir términos semejantes tendremos que operar con los coeficientes de cada término. Los coeficientes en cada término son 3,1 y -8 respectivamente. Ahora vamos a sumar todos los coeficientes y al final agregar la parte literal.

3+1+(−8)=4−8=−4 y agregamos la parte literal "a3b5", el resultado final es:

3a3b5+a3b5−8a3b5=−4a3b5

     Otro ejemplo:

7ym5−34ym5

     Estos son términos semejantes pues ambos contienen la misma parte literal ym5, ahora solo operamos con los coeficientes

7−34=7(4)(4)−34 el primer término lo multiplicamos y dividimos por cuatro para tener el mismo denominador en ambas fracciones.

284−34=28−34=254 agregamos la parte literal y tenemos


7ym5−34ym5=254ym5

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

La multiplicación de polinomios es una operación algebraica que tiene por objeto hallar una cantidad llamada producto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, de modo que el producto sea con respecto del multiplicando en signo y valor absoluto lo que el multiplicador es respecto a la unidad positiva. Tanto el multiplicando como el multiplicador reciben el nombre de factores del producto.

La multiplicación de polinomios cumple la propiedad distributiva. Es decir, que dados tres polinomios cualesquiera  se cumplirá que . Esta ley acostumbra a enunciarse diciendo que los factores se pueden agrupar de cualquier manera.

Asimismo, el producto de polinomios también cumplía la propiedad conmutativa. Es decir, que dados los polinomios cualesquiera , se cumplirá que . Esta ley acostumbra a enunciarse diciendo que el orden de los factores no altera el producto.

Por lo que respecta al signo del producto de dos factores, pueden presentarse los cuatro puntos siguientes:

a)      Si dos factores tienen el mismo signo positivo, su producto también tendrá signo positivo.

b)      Si el multiplicador tiene  signo positivo y el multiplicando tiene signo negativo, el producto tendrá signo negativo.

c)      Si el multiplicando tiene signo positivo y el multiplicador tiene signo negativo, el producto tendrá signo negativo.

d)      Si dos factores tienen ambos signo negativo, su producto tendrá signo positivo.

Por lo que podemos concluir en la Regla de los Signos, siguiente:

+ × + = +

+ × - = -

- × + = -

- × - = +

En la multiplicación algebraica pueden considerarse los tres casos siguientes:

a)      Multiplicación de monomios.

b)      Multiplicación de un polinomio por un monomio

c)      Multiplicación de polinomios

LEY DE LOS SIGNOS

Suma

1. Si los números tienen el mismo signo se suman se deja el mismo signo.

     

       3 + 5 = 8

      (−3) + (−5) = − 8

      

      2. Si números tienen distinto signo, se restan y al resultado se         le coloca el signo del número con mayor valor absoluto.

      

      −3 + 5 = 2

      3 + (−5) = − 2

      Multiplicación y división

             2 · 5 = 10

             (−2) · (−5) = 10

             2 · (−5) = − 10

             (−2) · 5 = − 10

             10 : 5 = 2

             (−10) : (−5) = 2

             10 : (−5) = − 2

             (−10) : 5 = − 2

       

       Potencias

    

       1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.

         

   

     26 = 64

    (−2)6 = 64

      

         2. Las potencias de exponente impar tiene el mismo signo de la        base.

     

    23 = 8

   (−2)3 = −8

Ley de los exponentes

Ley de los exponentes

La ley de los exponentes no es más que sumar multiplicar o dividir exponentes, solo necesitamos saber en que momento tenemos que hacer cada operación. Un exponente se puede definir como el número que define la cantidad de veces que se tiene qué multiplicar un factor por sí mismo, sencillo ¿verdad? el problema es cuando tenemos que elevar algo a la "cero" o manejar exponentes fraccionarios o incluso exponentes literales, las siguiente reglas serán de utilidad:

     De acuerdo con las reglas anteriores tenemos que todo número elevado a la "cero" es igual a la unidad, un factor elevado a la unidad da como resultado el mismo número, también que un exponente negativo indica que divide al factor que lo acompaña o que cuando multiplicamos factores con misma base debemos sumar los exponentes, etc.